Александър Морфов е роден през 1960 година в Ямбол. Баща му Морфи Морфов е офицер, а майка му Недялка Морфова е учителка по руски език и литература, музика, като дирижира фолклорен хор и ансамбъл в Сливен.
Учи в математическа гимназия "Проф. д-р Димитър Табаков“ в Сливен и след казармата следва две години в Техническия университет във Варна. Участието му в театралната трупа на университета (тогава ВМЕИ) под режисурата на Стоян Алексиев го "запалва“ за театрална кариера.
Напуска университета и работи в Драматичен театър "Стефан Киров“, Сливен като сценичен работник и осветител. През 1984 г. е приет във ВИТИЗ "Кръстьо Сарафов“, завършва режисура за куклен театър през 1990 г. в класа на Юлия Огнянова и кинорежисура при Георги Дюлгеров през 1994 година.
Играл е в Родопски драматичен театър "Николай Хайтов“ (1989 – 1990), Театър "София“ (1991 – 1992) и театър "Ла Страда“ (1993 – 1994). От 1993 г. Морфов е режисьор в Народен театър "Иван Вазов“, а през 2000 – 2001 е негов директор и художествен ръководител. Асистент по режисура на драматичен театър (1992 – 1995). От 2001 до 2006 г. е главен режисьор в Театър "Вера Комисаржевска“ в Санкт Петербург. След 2009 година е главен режисьор на Народния театър "Иван Вазов“, от януари до септември 2015 г. е и негов временен директор.
Член на програмния съвет на БНТ (1998). Женен за актрисата Рени Врангова, с която имат две дъщери – Неда и Сара.
Първите му спектакли на професионална сцена са в Родопския драматичен театър, където прави запомнящото се остро, актуално, авторско "Политическо кабаре“ (1990). Един сезон е режисьор в Театър София, където поставя "Бурята“ от Шекспир. В Народния театър "Иван Вазов“ стартира с авторска версия на "Дон Кихот“ и с нов вариант на "Бурята“. Тези два спектакъла като че слагат началото на привличане на нова публика към театъра. Причина за това е стилът на режисьора: смесването на "високото“ и "ниското“ в една увлекателна забавна игра, откритата условност на този театър и въображение в геговете, в използването на многообразни изразни средства – във визията, музиката и пр.
С тези и следващата, "Сън в лятна нощ“ (1996) от Шекспир, Морфов става един от най-популярните и предпочитани от зрителя театрални режисьори. Авторският "Декамерон или Кръв и страст по Бокачо“ (1999) също е издържан в тази стилистика. С "На дъното“ по Максим Горки режисьорът заявява и силна гражданска позиция, без да се отказва от характерната си театралност. В тази линия е и "Хъшове“ (2004).
Освен като режисьор Александър Морфов се изявява и като актьор – изиграл е главните роли във филмите "Иван и Александра“, "Любовното лято на един льохман“, "Сирна неделя“, "Козият рог“, "Приятелите на Емилия“, "След края на света“ и "Пътуване към Йерусалим“.
Сценарист и режисьор на филмите "Хълмът на боровинките“ и четирисерийния "Хъшове“.